الامارات 7 - تعريف المربع وخصائصه
يمكن تعريف المربع على أنه شكل هندسي رباعي الأضلاع، جميع أضلاعه متساوية في الطول، ويحتوي على أربع زوايا داخلية قياس كل منها 90 درجة. أقطار المربع متساوية وتتنصف زواياه. إذا كان طول ضلع المربع يساوي س، فإن القانون الذي يربط طول قطره (ق) بطول الضلع (س) هو: ق = س√2. إذا كانت (ي) نقطة تقاطع قطري المربع، فإن هذه النقطة تشكل مركزاً للدائرة المحيطة بهذا المربع، ويشكل كل قطر من أقطار المربع قطراً لهذه الدائرة. أقطار المربع تقسمه إلى مثلثين متطابقين قائمين ومتساويي الساقين، تعادل مساحة كل مثلث نصف مساحة المربع، ويعادل طول وترها طول كل قطر من أقطار المربع. يساوي مجموع كل زاويتين متجاورتين فيه 180 درجة، أما مجموع زواياه الأربع فيساوي 360 درجة كغيره من الأشكال الرباعية.
طريقة رسم المربع
يمكن رسم مربع باستخدام أربع خطوط مستقيمة متساوية في الطول، وربطها مع بعضها بحيث يلمس كل ضلع نهاية الضلع الآخر، مع الحرص على أن تكون جميع الزوايا الداخلية الأربع قائمة. لرسم المربع على ورقة يجب اتباع الخطوات التالية:
افتراض اسم للمربع قبل البدء برسمه، مثلًا المربع أ ب ج د.
رسم خط مستقيم أفقي على الورقة، ووضع رموز على كلا طرفي الخط، فليكن الرمزان ب ج.
استخدام المنقلة لرسم خط عمودي على ب ج يرتفع من النقطة ج، وبنفس طوله.
تسمية النقطة التي تقع فوق النقطة ج بالنقطة د.
إعادة الخطوات ذاتها لرسم خط يرتفع من النقطة ب، وتسمية النقطة التي تقع فوقه بالنقطة أ.
رسم خط أفقي مستقيم بين الرمزين أ د، ليكتمل المربع.
حساب مساحة المربع
يمكن حساب مساحة المربع بعدة طرق:
إيجاد المساحة من خلال طول الضلع:
إذا كان طول الضلع معلومًا، فإن مساحة المربع تساوي حاصل ضرب طول الضلع في نفسه. إذا كانت المساحة (م) وطول الضلع (س)، فإن قانون المساحة هو: م = س².
على سبيل المثال، إذا كان طول ضلع المربع 5 سم، فإن مساحته تساوي:
م = 5² = 25 سم².
إيجاد المساحة من خلال طول القطر:
إذا كان طول القطر معلومًا، فإن المساحة تساوي نصف مربع القطر. إذا كان طول القطر هو (ق)، فإن مساحة المربع تساوي: م = ½ ق².
على سبيل المثال، إذا كان طول قطر المربع 10 سم، فإن المساحة تساوي:
م = ½ × 10² = 50 سم².
إيجاد المساحة من خلال المحيط:
إذا كان محيط المربع معلومًا، يمكن حساب طول الضلع بقسمة المحيط على 4، ثم استخدام طول الضلع لحساب المساحة. إذا كان المحيط (ح)، فإن طول الضلع (س) يساوي: س = ح ÷ 4، ثم المساحة تساوي: م = س².
على سبيل المثال، إذا كان محيط المربع 20 سم، فإن طول الضلع يساوي:
س = 20 ÷ 4 = 5 سم، ومساحته تساوي:
م = 5² = 25 سم².
حساب محيط المربع
يمكن حساب محيط المربع بطريقتين:
إيجاد المحيط من خلال طول الضلع:
المحيط يساوي طول الضلع مضروبًا في 4. إذا كان طول الضلع (س)، فإن المحيط (ح) يساوي: ح = 4 × س.
على سبيل المثال، إذا كان طول ضلع المربع 6 سم، فإن محيطه يساوي:
ح = 4 × 6 = 24 سم.
إيجاد المحيط من خلال طول القطر:
يمكن حساب المحيط عند معرفة طول القطر باستخدام القانون: ح = 4 × (ق / √2).
على سبيل المثال، إذا كان طول قطر المربع 10 سم، فإن المحيط يساوي:
ح = 4 × (10 / √2) = 4 × 7.07 = 28.28 سم.
أمثلة متنوعة حول المربع
إذا كان طول ضلع المربع 12 سم، جد طول قطره:
ق = س√2 = 12√2 = 16.97 سم.
جد مساحة ومحيط وطول قطر المربع الذي يبلغ طول ضلعه 6 سم:
المساحة: م = 6² = 36 سم².
المحيط: ح = 4 × 6 = 24 سم.
طول القطر: ق = 6√2 = 8.49 سم.
إذا كان نصف قطر الدائرة المحيطة بالمربع 2 سم، جد محيط المربع:
طول قطر الدائرة = طول قطر المربع = 4 سم.
ح = 4 × (4 / √2) = 4 × 2.83 = 11.32 سم.
إذا كانت مساحة المربع 1200 متر مربع، جد المسافة بين أحد رؤوسه والرأس المقابل له:
ق = √(2 × 1200) = 48.99 متر.
إذا كان محيط المربع 48 سم، جد طول قطره:
ق = 48 / (4 / √2) = 48 / 2.83 = 16.97 سم.
الفرق بين المربع والمعين
كل من المربع والمعين يعتبران أشكالاً رباعية وتصنفان كحالات خاصة من متوازي الأضلاع، حيث يمتلك كل منهما أربعة أضلاع متساوية الطول وأقطار متعامدة. الاختلافات الرئيسية هي:
جميع زوايا المربع قائمة ومتساوية، بينما لا يمتلك المعين أي زوايا قائمة، بل تتساوى فيه كل زاويتين متقابلتين.
أقطار المربع متساوية في الطول، بينما أقطار المعين ليست متساوية.
كل مربع هو معين، لكن ليس كل معين مربع.
يمكن تعريف المربع على أنه شكل هندسي رباعي الأضلاع، جميع أضلاعه متساوية في الطول، ويحتوي على أربع زوايا داخلية قياس كل منها 90 درجة. أقطار المربع متساوية وتتنصف زواياه. إذا كان طول ضلع المربع يساوي س، فإن القانون الذي يربط طول قطره (ق) بطول الضلع (س) هو: ق = س√2. إذا كانت (ي) نقطة تقاطع قطري المربع، فإن هذه النقطة تشكل مركزاً للدائرة المحيطة بهذا المربع، ويشكل كل قطر من أقطار المربع قطراً لهذه الدائرة. أقطار المربع تقسمه إلى مثلثين متطابقين قائمين ومتساويي الساقين، تعادل مساحة كل مثلث نصف مساحة المربع، ويعادل طول وترها طول كل قطر من أقطار المربع. يساوي مجموع كل زاويتين متجاورتين فيه 180 درجة، أما مجموع زواياه الأربع فيساوي 360 درجة كغيره من الأشكال الرباعية.
طريقة رسم المربع
يمكن رسم مربع باستخدام أربع خطوط مستقيمة متساوية في الطول، وربطها مع بعضها بحيث يلمس كل ضلع نهاية الضلع الآخر، مع الحرص على أن تكون جميع الزوايا الداخلية الأربع قائمة. لرسم المربع على ورقة يجب اتباع الخطوات التالية:
افتراض اسم للمربع قبل البدء برسمه، مثلًا المربع أ ب ج د.
رسم خط مستقيم أفقي على الورقة، ووضع رموز على كلا طرفي الخط، فليكن الرمزان ب ج.
استخدام المنقلة لرسم خط عمودي على ب ج يرتفع من النقطة ج، وبنفس طوله.
تسمية النقطة التي تقع فوق النقطة ج بالنقطة د.
إعادة الخطوات ذاتها لرسم خط يرتفع من النقطة ب، وتسمية النقطة التي تقع فوقه بالنقطة أ.
رسم خط أفقي مستقيم بين الرمزين أ د، ليكتمل المربع.
حساب مساحة المربع
يمكن حساب مساحة المربع بعدة طرق:
إيجاد المساحة من خلال طول الضلع:
إذا كان طول الضلع معلومًا، فإن مساحة المربع تساوي حاصل ضرب طول الضلع في نفسه. إذا كانت المساحة (م) وطول الضلع (س)، فإن قانون المساحة هو: م = س².
على سبيل المثال، إذا كان طول ضلع المربع 5 سم، فإن مساحته تساوي:
م = 5² = 25 سم².
إيجاد المساحة من خلال طول القطر:
إذا كان طول القطر معلومًا، فإن المساحة تساوي نصف مربع القطر. إذا كان طول القطر هو (ق)، فإن مساحة المربع تساوي: م = ½ ق².
على سبيل المثال، إذا كان طول قطر المربع 10 سم، فإن المساحة تساوي:
م = ½ × 10² = 50 سم².
إيجاد المساحة من خلال المحيط:
إذا كان محيط المربع معلومًا، يمكن حساب طول الضلع بقسمة المحيط على 4، ثم استخدام طول الضلع لحساب المساحة. إذا كان المحيط (ح)، فإن طول الضلع (س) يساوي: س = ح ÷ 4، ثم المساحة تساوي: م = س².
على سبيل المثال، إذا كان محيط المربع 20 سم، فإن طول الضلع يساوي:
س = 20 ÷ 4 = 5 سم، ومساحته تساوي:
م = 5² = 25 سم².
حساب محيط المربع
يمكن حساب محيط المربع بطريقتين:
إيجاد المحيط من خلال طول الضلع:
المحيط يساوي طول الضلع مضروبًا في 4. إذا كان طول الضلع (س)، فإن المحيط (ح) يساوي: ح = 4 × س.
على سبيل المثال، إذا كان طول ضلع المربع 6 سم، فإن محيطه يساوي:
ح = 4 × 6 = 24 سم.
إيجاد المحيط من خلال طول القطر:
يمكن حساب المحيط عند معرفة طول القطر باستخدام القانون: ح = 4 × (ق / √2).
على سبيل المثال، إذا كان طول قطر المربع 10 سم، فإن المحيط يساوي:
ح = 4 × (10 / √2) = 4 × 7.07 = 28.28 سم.
أمثلة متنوعة حول المربع
إذا كان طول ضلع المربع 12 سم، جد طول قطره:
ق = س√2 = 12√2 = 16.97 سم.
جد مساحة ومحيط وطول قطر المربع الذي يبلغ طول ضلعه 6 سم:
المساحة: م = 6² = 36 سم².
المحيط: ح = 4 × 6 = 24 سم.
طول القطر: ق = 6√2 = 8.49 سم.
إذا كان نصف قطر الدائرة المحيطة بالمربع 2 سم، جد محيط المربع:
طول قطر الدائرة = طول قطر المربع = 4 سم.
ح = 4 × (4 / √2) = 4 × 2.83 = 11.32 سم.
إذا كانت مساحة المربع 1200 متر مربع، جد المسافة بين أحد رؤوسه والرأس المقابل له:
ق = √(2 × 1200) = 48.99 متر.
إذا كان محيط المربع 48 سم، جد طول قطره:
ق = 48 / (4 / √2) = 48 / 2.83 = 16.97 سم.
الفرق بين المربع والمعين
كل من المربع والمعين يعتبران أشكالاً رباعية وتصنفان كحالات خاصة من متوازي الأضلاع، حيث يمتلك كل منهما أربعة أضلاع متساوية الطول وأقطار متعامدة. الاختلافات الرئيسية هي:
جميع زوايا المربع قائمة ومتساوية، بينما لا يمتلك المعين أي زوايا قائمة، بل تتساوى فيه كل زاويتين متقابلتين.
أقطار المربع متساوية في الطول، بينما أقطار المعين ليست متساوية.
كل مربع هو معين، لكن ليس كل معين مربع.